Monthly Archives: March 2016

Pembuktian Rumus Lingkaran dengan Integral

circle, SMP,

Dengan menggunakan metode ini kita melihat lingkaran sebagai kumpulan titik pada koordinat kartesius. Kita telah belajar persamaan lingkaran adalah r2 = x2 + y2. Dengan menganggap lingkaran berpusa di titik (0,0) dengan titik potong di sumbu x dan y adalah r maka kita bisa menghitung luas 1/4 lingkaran dengan menggunakan integral tentau dari persamaan lingkaran mulai untuk bata x masing-masing 0 sampai r. Perhatikan ilustrasi di bawah ini.

luas lingkaran dengan integral tentu

Persamaan
r2 = x2 + y2 kita ubah menjadi
y2 = r2 – x2
y  = √(r2 – x2 )

Luas=4 ∫_0^r▒〖√(r^2-x^2 ) dx〗 = 4 ∫_0^r▒〖√(r^2-(rsinθ)^2 ) dx〗 = 4 ∫_0^r▒〖√(r^2-r^2 〖sin〗^2 θ)) dx〗 = 4 ∫_0^r▒〖√(r^2 (1-〖sin〗^2 θ) ) dx〗 = 4 ∫_0^r▒〖r.cos⁡θ dx〗

Perhatikan sekali lagi gambar di atas, nilai dari sin θ = x/r sehingga
x = r sin θ (ingat turunan trigonometri sin adalah cos)
dx = r cos θ dθ

Sehingga

pembuktian rumus luas lingkaran 2
Langkah berikutnya adalah kita substitusikan

lanjutan 3

sehingga didapat

= 2r^2 (θ+ sin⁡〖θ cosθ) |_0^r 〗 = 2r^2 [〖sin〗^(-1) (x/r)+ x/r .(r^2-x^2)/r |_0^r ] = 2r^2 [(〖sin〗^(-1) (r/r)+ r/r .(r^2-r^2)/r)-(〖sin〗^(-1) (0/r)+ 0/r .(r^2-0^2)/r) ] = 2r^2 [(〖sin〗^(-1) 1+ 0)-(〖sin〗^(-1) 0+ 0) ] →ingat (〖sin〗^(-1) 1=90°=π/2) = 2r^2 [(π/2)+0-(0+ 0) ] = πr^2

Itulah 2 dari banyak cara yang bisa sobat gunakan untuk membuktikan rumus luas lingkaran. Jika ada yang kurang jelas atau mungkin sobat punya metode pembuktian lain, jangan sungkan-sungkan untuk menuliskannya di kolom komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat.

 Materi ini disalin dari: http://rumushitung.com/2014/11/20/pembukitan-asal-rumus-luas-lingkaran/